**توابع متعامد**

مرسوم است که برای توابع ${\displaystyle f}$ و ${\displaystyle g}$ ضرب داخلی زیر را تعریف کنیم:

${\displaystyle \langle f,g\rangle _{w}=\int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)\,dx.}$

که در آن ‎${\displaystyle w(x)}$‎ تابع وزن نامنفی برای ضرب داخلی است. در این صورت، می‌گوییم دو تابع برهم عمودند اگر ضرب داخلی‌شان صفر باشد:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)\,dx=0.}$

در این ضرب داخلی، طول بردارها (تابع‌ها) از ضرب داخلی بردار در خودش به دست می‌آید:

${\displaystyle \|f\|_{w}={\sqrt {\langle f,f\rangle _{w}}}}$

اعضای یک دنباله از توابع { f_i: i = ۱, ۲, ۳, . } متعامد هستند اگر

${\displaystyle \langle f_{i},f_{j}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f_{i}(x)f_{j}(x)w(x)\,dx=\|f_{i}\|^{2}\delta _{i,j}=\|f_{j}\|^{2}\delta _{i,j}}$

و راست‌هنجار (متعامد یکه) هستند اگر:

${\displaystyle \langle f_{i},f_{j}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f_{i}(x)f_{j}(x)w(x)\,dx=\delta _{i,j}}$

در رابطهٔ بالا

${\displaystyle \delta _{i,j}=\left\{{\begin{matrix}1&\mathrm {if} \ i=j\\0&\mathrm {if} \ i\neq j\end{matrix}}\right.}$

دلتای کرونکر نام دارد. به زبان دیگر هر دو عضوی از این دنباله برهم عمودند و طول‌شان (برای توابع راست‌هنجار) ۱ است. چندجمله‌ای‌های متعامد را ببینید.

نکاتی از انتگرال لبگ

ریاضی دیابت را درمان می کند؟؟

**توابع متعامد**