نکاتی از انتگرال لبگ (در تمام موارد X مجموعه‌ای اندازه پذیر است)

۱- فرض کنیم [∞,f,g: X→[0 توابع اندازه پذیر باشند، در این صورت داریم:

• تابع f تقریبا همه جا روی X برابر صفر می‌باشد، معادل است با جمله: انتگرال f روی X برابر صفر می‌باشد.
• تابع f تقریبا همه جا با تابع g روی X برابر است معادل می‌باشد با جمله: انتگرال f روی E برابر است باانتگرال g برای هر عضو اندازه پذیر E.

۲- قسمت ب نکته ۱ بیان می‌کند اگر دو تابع f,g خارج مجموعه پوچ X باهم برابر باشند، آنگاه انتگرال‌های این دو تابع روی هر مجموعه اندازه پذیر E با هم برابرند.

۳- بنا به قسمت ب نکته ۱، می‌توان مقدار تابع f روی هر مجموعه پوچ تغییر داد بدون آنکه انتگرال f تغییر کند.

۴- فرض کنیم [∞,fⁿ: X→[0  دنباله‌ای از توابع اندازه‌پذیر روی X باشد که به تابع اندازه پذیر f همگرا باشد در این صورت ااما انتگرال fⁿ با انتگرال f روی X برابر نمی‌باشد. (یعنی وما حد از انتگرال عبور نمی‌کند)

۵- برای رفع مشکل نکته ۴ از قضیه همگرایی یکنوا (Beppo-Levi Theorem) استفاده می‌کنیم.

۶- قضیه همگرایی یکنوا: (Monotone Convergence Theorem)

فرض کنیم [∞,fⁿ: X→[0 دنباله‌ای از توابع صعودی و همگرا به تابع اندزه پذیر f روی X باشد آنگاه انتگرال fⁿ با انتگرال f برابر می‌گردد. (یعنی حد از انتگرال عبور می‌کند)

۷- در قضیه همگرایی یکنوا اگر دنباله [∞, ∞-] →fⁿ: X  صعودی نباشد ااما حکم قضیه برقرار نیست.

۸- اگر در قضیه همگرایی یکنوا اگر [∞, ∞-] →fⁿ: X صعودی نباشد حداقل اتفاق ممکن لم فاتو (Fatou,s Lemma) است.
یعنی اگر تساوی برقرار نباشد حداقل نامساوی برای انتگرال ها دارید.

۹- همانطور که مشاهده شد قضیه همگرایی یکنوا برای توابعی که منفی باشند یا صعودی نباشند جوابگو نمی‌باشد. اکنون از قضیه‌ای استفاده می‌کنیم که از همگرایی یکنوا قوی‌تر بوده و برای توابع منفی و برای توابع غیرصعودی برقرار می‌باشد به نام قضیه تسلطی لبگ.

۱۰- قضیه تسلطی لبگ: (Lebesgue Dominated Convergence Theorem) فرض کنیم : [∞, ∞-]→ f, fⁿ: X توابع اندازه پذیری باشند که در شرایط زیر صدق کنند:

• (fⁿ(x)→f(x
• یک تابع اندازه پذیر[∞, ∞-] → g: X تقریبا همه جا  موجود باشد که (l fⁿ(x) l ≤ g(x تقریبا همه جا
• g انتگرال پذیر باشد آنگاه انتگرال fⁿ با انتگرل f برابر می‌باشد.(یعنی حد از انتگرال عبور می‌کند)

۱۱- در قضیه همگرایی یکنوا، لم فاتو، و همگرایی تسلطی لبگ، می‌توان همگرایی در اندازه را به جای همگرایی تقریبا همه جایگزین کرد

مطالعه جدیدی انجام شده است که امیدواری‌ها برای درمان دیابت نوع 2 را افزایش داده است.

به گزارش گروه علم و فناوری آنا به نقل از مجله دانش‌بنیان، پژوهشگران برنامه‌های بیوماتمتیک (زیست‌- ریاضی) در دانشگاه ایالتی فلوریدا با کمک تلفیقی از فناوری و ریاضی در یک مطالعه بلندپروازانه به دنبال راهی برای درمان قطعی دیابت نوع 2 می‌گردند.

مطالعه جدیدی که توسط دکتر ریچارد برترام، استاد ریاضیات صورت گرفته است، به گونه‌ای موفقیت‌آمیز نوسان تولید انسولین را در سلول‌های خفته و بازگردانی امکان تولید انسولین در آنهاست. این مشکل اساسی افرادی است که با دیابت زندگی می‌گذرانند؛ سلول‌های پانکراسی آنها یا اصولا انسولین نمی‌سازد یا مقدار آن کافی نیست تا قند خون کنترل شود که در نتیجه میزان گلوکز در خون تا مرز خطرناکی (ایجاد حالت hyperglycemia) افزایش می‌یابد. تنها در ایالات متحده آمریکا سی میلیون نفر دچار دیابتند که نود و پنج درصد موارد ابتلا از نوع 2 است.

پژوهش دکتر برترام (نتایج آن در مجله PLOS Computational Biology به چاپ رسیده است)، موفقیتی قابل‌توجه در نیل به هدف نهایی یعنی یافتن روشی برای درمان قطعی این عارضه است. او توضیح می‌دهد: تاکنون کسی از تلفیق این امکانات استفاده نکرده و این راهی بسیار مناسب است که کارهای علمی به همراه نتایج ملموس صورت گیرد که برای همگان جدید باشد. با کمک همکاری مناسب بین‌رشته‌ای و استفاده از فناوری رسیدن به چنین اهدافی امکان‌پذیر می شود.»

دکتر برترام از مدل‌های ریاضی که خودش آنها را طراحی و محاسبه کرده و علم میکروسیالات بهره می‌برد.

این پژوهش با همکاری دکتر مایکل راپر دانشیار بخش شیمی و بیوشیمی صورت پذیرفت که تجهیزات لازم را با دقت کافی برای جانا بخشیدن به مدل‌های ریاضی دکتر برترام طراحی نمود. معادلات دکتر برترام می‌تواند پاسخ بالقوه بسیاری از سیستم‌های زیستی را شبیه‌سازی کند.

محققان این پیش‌بینی‌ها را در آزمایشگاه پژوهشی با یک وسیله شیشه‌ای میکروسیال (که در ظاهر بسیار ساده به نظر می‌رسد، اما سیستم داخلی آن بسیار پیشرفته و پیچیده است) مورد بررسی قرار دادند. این نوآوری به اندازه یک کارت اعتباری بانکی است که روی آن کانال‌های میکروسکوپی تعبیه شده که می‌توانند مقدار دقیق و موردنظر از محلول گلوکز را به سلول‌های بتاپانکراس که دسته‌هایی را به نام شبه‌جزایر می‌سازند، برسانند. محققان پژوهش‌های مختلفی را با کمک شبه‌جزایر موش آزمایشگاهی و به کمک این اختراع میکروسیال انجام دادند.

دکتر راپر می‌گوید: این اختراع خیلی شبیه ساخت چیپ‌های رایانه‌ای است. این وسیله اجازه می‌دهد یک یا تعداد بیشتری از شبه‌جزایر سلولی روی آن سوار شود، آن‌گاه در یک مکانیسم بسیار کنترل‌شده مقدار دقیق گلوکز را به این سلول‌ها می‌رسانیم.»

با کمک این فناوری و تنظیم مقدار دقیق گلوکزی که به سلول‌های بتاپانکراس می‌رسد، پژوهشگران می‌توانند علت خاموش شدن سلول‌های انسولین‌ساز را بیازمایند و امکان فعال‌سازی مجدد آنها را بررسی کنند. با کمک ابداع میکروسیالی دکتر راپر محققان دوز بسیار اندکی از گلوکز، یک میکرولیتر یا یک هزارم یک قطره باران را به سلول‌های بتا خفته پانکراسی موش رساندند.

زمانی که این حجم بسیار کوچک به صورت ضربان‌های ریتم‌دار با اندازه و فراوانی کنترل شده (مانند یک بدن سالم) مهیا شد، نوعی نوسان در سلول‌های شبه‌جزایری القا شد و سبب شد تا آنها مانند سلول‌های سالم انسولین ترشح کنند.

این پژوهش نقطه عطفی در یافتن پاسخ سوالات مرتبط با دیابت و شناخت بهتر این بیماری است. همچنین این مطالعه نشان داد که چگونه تلفیقی از ریاضیات و زیست‌شناسی می‌تواند راهگشای دانشمندان باشد. هدف تیم تحقیقاتی این است که علت مقاومت بافت‌های بدن به انسولین روشن شود؛ چیزی که سبب می‌شود شبه‌جزایر سلولی پانکراس ضعیف و در نهایت خاموش شوند که در همه این موارد در نهایت به بروز دیابت می‌انجامد. امروزه تیم برترام و راپر به آینده می‌نگرند با این هدف که به کمک ریاضی و فناوری‌های جدید راه درمانی برای دیابت بیابند.

دکتر برترام می‌گوید: ما این مطالعه را پیشرفت به سمت هدف می‌دانیم. دیابت نوع 2 بیماری بسیار پیچیده‌ای است. برای درمان قطعی آن باید فهمید اجزا و جزئیات ایجاد بیماری چگونه کار می‌کنند. ریاضی همواره در این مسیر می‌تواند راهگشا باشد.»

مرسوم است که برای توابع ${\displaystyle f}$ و ${\displaystyle g}$ ضرب داخلی زیر را تعریف کنیم:

${\displaystyle \langle f,g\rangle _{w}=\int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)\,dx.}$

که در آن ‎${\displaystyle w(x)}$‎ تابع وزن نامنفی برای ضرب داخلی است. در این صورت، می‌گوییم دو تابع برهم عمودند اگر ضرب داخلی‌شان صفر باشد:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)\,dx=0.}$

در این ضرب داخلی، طول بردارها (تابع‌ها) از ضرب داخلی بردار در خودش به دست می‌آید:

${\displaystyle \|f\|_{w}={\sqrt {\langle f,f\rangle _{w}}}}$

اعضای یک دنباله از توابع { f_i: i = ۱, ۲, ۳, . } متعامد هستند اگر

${\displaystyle \langle f_{i},f_{j}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f_{i}(x)f_{j}(x)w(x)\,dx=\|f_{i}\|^{2}\delta _{i,j}=\|f_{j}\|^{2}\delta _{i,j}}$

و راست‌هنجار (متعامد یکه) هستند اگر:

${\displaystyle \langle f_{i},f_{j}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f_{i}(x)f_{j}(x)w(x)\,dx=\delta _{i,j}}$

در رابطهٔ بالا

${\displaystyle \delta _{i,j}=\left\{{\begin{matrix}1&\mathrm {if} \ i=j\\0&\mathrm {if} \ i\neq j\end{matrix}}\right.}$

دلتای کرونکر نام دارد. به زبان دیگر هر دو عضوی از این دنباله برهم عمودند و طول‌شان (برای توابع راست‌هنجار) ۱ است. چندجمله‌ای‌های متعامد را ببینید.

۸م۸

اصول اقلیدس^[۱]

تاریخ ریاضیات حوزه‌ای از مطالعات که به عنوان تاریخ ریاضیات شناخته می‌شود در درجه اول به منشا اکتشافات در ریاضی و در درجه‌های پایین تر به تحقیق و تفحص بر روی روش‌های ریاضی و یادداشت‌های ثبت شده پیشین می‌پردازد. قبل از عصر مدرن و گسترش جهانی اطلاعات، توسعه نمونه‌های مکتوب ریاضی فقط در چند حوزه خاص بوده‌است.

قدیمی ترین متن‌های ریاضی در دسترس: پلیمپتن ۳۲۲(ریاضیات بابلی ۱۹۰۰ سال قبل از میلاد) ، پاپیروس رایند(ریاضیات مصری ۱۸۰۰-۲۰۰۰ قبل از میلاد) و پاپیروس مسکو(ریاضیات مصری ۱۸۹۰ قبل از میلاد) می‌باشند.

همگی این متون قضیه فیثاغورس را مورد توجه قرار می‌دهند. به نظر می‌رسد که این قضیهٔ معروف، قدیمی و گسترده ترین پیشرفت ریاضی پس از حساب و هندسه پایه‌است.

تحصیل ریاضی به عنوان نمایش مدل کننده ی انضباط (بین اشیا) در قرن 6 قبل از میلاد با فیثاغوریان شروع شد که اصطلاح " علم ریاضی" (mathematic) را از یونان باستان (μάθημα (mathema به معنی " موضوع مطالعه دستور العمل " ابداع کردند.

ریاضیدانان یونانی روشها را به خوبی تصفیه کردند (مخصوصا از راه دستورالعمل استدلال استقرایی و در اثباتهااز اثبات گرایی منطقی ) و موضوعات ریاضی را گسترش دادند.

ریاضیدانان چینی هم همکاری اولیه ای شامل " سیستم مکانی زمانی " داشته اند.

" سیستم عددی عربی_هندی " و قوانینی برای استفاده از عملگر های آن که امروزه در سرتاسر دنیا استفاده می شود احتمالاً در هزاره اول AD در هند تکامل یافته و از طریق ریاضیات اسلامی و کارهای محمد بن موسی خوارزمی به غرب منتقل شده است.

ریاضیات اسلامی به سهم خود ریاضی ای که در این تمدنها شناخته می شود را پیشرفت و گسترش داده است. بسیاری از متن های عربی و یونانی در ریاضیات بعدها به لاتین ترجمه شده اند که منتهی به رشد ریاضی در قرون وسطی اروپا شده است.

• ریاضیات پیش از تاریخ

ریشه های دروغ فکری ریاضیات در مفاهیم تعداد ، اندازه و شکل می باشد.

مطالعات اخیر شناخت حیوان، نشان داده است که این مفاهیم مختص انسان نمی‌باشد. چنین مفاهیمی بخشی از زندگی روز مره را در جوامع کاوشگر تشکیل داده اند.

ایده تعداد به تدریج در حال تحول است و بوسیله زبان هایی که تمایز بین 1 و 2 و خیلی و اما نه اعدادبزرگتر از 2 را حفظ می کنند، پشتیبانی شده است. اشیاء ماقبل تاریخی که با قدمت تقریبی 20000سال در آفریقا کشف شده است، از تلاش های بدوی برای تعیین زمان نشان داده است. استخوان ایشنگو در نزدیکی سرچشمه رود نیل(شمال شرقی کنگو امروزی) کشف شده ، ممکن است قدمتی بیش از 20000سال داشته باشند که شمال یک سری علائم ریاضی(چوب خط) حک شده در 3 ستون در طول استخوان های می باشند. تفسیرهای رایج از تحلیل استخوان هاس ایشانگو، خبر از اولین شمارش اعداد و یا یک تفویم شش ماهه قمری می دهند.  پیتر رودمن عقیده دارد که رشد مفهوم اولیه اعداد نشان می دهد که مفهوم تقسیم به بیش از 10هزار سال بعد از میلاد مسیح بر می گردد. او همچنین می نویسد که هیچ تلاشی در راستای تشریح اینکه چرا چوب خط حسابدر اعداد بین 10 تا 20 و همینطور مضاربی از 10، باید مضربی از عدد 2 باشد، نشده است.

استخوان های ایشانگو با توجه به تحفیفات الکساند مارشاک، تحت تاثیر توسعه ریاضیات در مصر باستان بوده اند. شبیه برحی از نوشته های بر روی استحوان های ایشانگو، علم حساب مصر باستان از استفاده از مضارب عدد 2 ساخته شده است که بهرحال این قضیه مورد بحث می باشد.

مصریان باستان از 5000 سال قبل از میلاد مسیح ، طرح های هندسی را به نمایش گذاشته اند. چنین بیان شده است که کوه های انگلستان و اسکاتلند قدمتی معادل سه میلیون سال قبل از میلاد مسیح دارند که در آنها ترکیب های هندسی نظیر دایره، بیضی و مثلث فیثاغورث نمایان می باشد.

• ریاضیات بابلیان

ریاضیات بابلیان که به آن ریاضیات آشوری-بابلی هم می‌گویند، ریاضیاتی است که در میان مردمان میان‌رودان از روزهای نخست فرمانروایی سومریان تا سرنگونی بابل در ۵۳۹ پیش از میلاد کاربرد داشته و گسترش یافته است. نوشته‌های ریاضیاتی بابلیان فراوان است و به خوبی ویرایش شده است. ریاضیات بابلیان را از دیدگاه زمانی می‌توان به دو بخش تقسیم کرد، یکم دورهٔ بابلیان باستان (از ۱۸۳۰ تا ۱۵۳۱ پیش از میلاد) و دوم بیشتر مربوط به دورهٔ سلوکیان در حدود سه تا چهار سده پیش از میلاد. از دیدگاه محتوا، تفاوت آشکاری میان دو دوره دیده نمی‌شود از این رو می‌توان گفت ریاضیات بابلیان در نزدیک به دو هزار سال وضعیت ثابتی داشته است

داده‌های ما پیرامون دانش ریاضیاتی بابلیان از نزدیک به ۴۰۰ گِل‌نوشته رسی که از زیر خاک بیرون کشیده شده، بدست آمده است. این گِل‌نوشته‌ها به خط میخی اند، هنگامی که گِل هنوز خیس بوده بر روی آن نوشته شده و بعد زیر نور خورشید یا در یک کوره خشک شده است. مباحث ارائه شده در این گِل‌نوشته‌ها عبارتند از: کسر، جبر، معادلهٔ درجه دو و سه و قضیهٔ فیثاغورث است. در یکی از این گِل‌نوشته‌ها هم تقریبی برای 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ارائه شده است که تا سه رقم در مبنای ۶۰ دقیق بوده است (برابر با ۷ رقم در مبنای ده).

ریاضیات بابل عبارت است از مجموعه‌ای از اعداد و تلاش‌های ریاضیاتی پیشرفته تر در خاور نزدیک باستان که به خط میخینوشته شده است. از آنجایی که داده‌های مربوط به دوره بابلیان باستان (دوره نخست ریاضیات بابل) در آغاز هزاره دوم پیش از میلاد فراوان‌تر است، بیشتر پژوهش‌های پیشینه شناسی بر روی این دوران تمرکز داشته است. با این حال بر روی ریشه‌های اصلی ریاضیات بابل بحث است، برخی باستان شناسان بر این باورند که آغاز ریاضیات بابل به هزاره‌های پنجم و سوم پیش از میلاد بازمی‌گردد چون ابزارهای گِلی با کاربرد شمارش و گِل مُهرک‌هایی به قدمت ۵۰۰۰ سال پیش از میلاد پیدا شده است.

ریاضیات بابلی در درجه نخست به خط میخی و به زبان‌های اکدی و سومری نوشته شده بود. دستگاه اعداد بابلی در پایه۶۰ بود.

سومریان باستان میان‌رودان از ۳۰۰۰ سال پیش از میلاد یک سامانهٔ پیچیدهٔ مترولوژی را ارائه کردند. از ۲۶۰۰ سال پیش از میلاد به این سو گِل‌نوشته‌هایی از مسائل مربوط به ضرب، تقسیم و هندسه از خود به جای گذاشتند. همچنین می‌توان گفت برخی از نشانه‌های مربوط به دانش ریاضی بابلیان به این دوره بازمی‌گردد.